CLASE 7 - GEOFÍSICA DE MEDIOS GRANULARES

STICK-SLIP Y FALLAS
GEOLÓGICAS EN LABORATORIO


THOMAS GALLOT,
CAMILA SEDOFEITO

Instituto de Física,
Facultad de Ciencias,
Universidad de la República

Plan de la clase

  1. El fenómeno: qué se observa
  2. El ciclo: carga → umbral → slip → relax
  3. Por qué ocurre: retroalimentación positiva
  4. Velocity weakening como eje central
  5. El modelo más simple: masa-resorte
  6. La competencia: rigidez vs debilitamiento
  7. Condición de inestabilidad (rigidez critica)
  8. Rate-and-State y Burridge-Knopoff

PUENTE — CLASE 6 → CLASE 7

En clase 6 vimos que μ no es constante.
Hoy vemos la consecuencia dinámica.

Lo que sabemos (Clase 6):

  • μ depende del estado del contacto
  • μ_s > μ_d: fricción estática > dinamica
  • Healing: μ crece con el tiempo en reposo
  • Velocity weakening: μ decrece con v

La pregunta de hoy:

¿Qué ocurre dinámicamente cuando μ decrece con la velocidad?

¿Bajo qué condiciones un sistema de fricción se vuelve inestable?

Cuando μ deja de ser constante, el sistema puede no encontrar un estado de equilibrio estable → stick-slip

El fenómeno: qué se observa

Cuando se carga lentamente un sistema de fricción, se observa una señal de fuerza característica:

tiempo F μ_s P μ_d P STICK SLIP Δμ·P
La señal en "diente de sierra" es la firma de un sistema que alterna entre carga lenta (stick) y liberación abrupta (slip).

¿Dónde aparece?

Laboratorio: bloque sobre superficie rugosa, tirado a velocidad constante. Señal de fuerza reproducible.
Terremotos: fallas geológicas cargadas por movimiento de placas. Ruptura súbita después de décadas de carga silenciosa.
Vida cotidiana: tiza en pizarrón (chirrido), arco de violín (nota musical), puerta que cruje.

El ciclo stick-slip

El stick-slip no es un evento único: es un proceso cíclico repetitivo. Cada ciclo tiene cuatro fases:

STICK carga elástica lenta UMBRAL T = μ_s P SLIP deslizamiento rápido RELAX T cae, ciclo reinicia repeticion periodica
① Carga elástica (stick):
El sistema se carga lentamente. La fricción estática μ_s impide el movimiento. La energía se almacena.
② Umbral:
La fuerza alcanza T = μ_s P. El sistema está al limite del cono de Coulomb.
③ Slip rápido:
La fricción cae a μ_d < μ_s. La energía almacenada se libera como energía cinética.
④ Relajación:
El bloque frena. La fuerza cae por debajo de μ_d P. El ciclo reinicia.

No es un evento → es un proceso repetitivo.

¿Por qué ocurre? Retroalimentación positiva

El stick-slip ocurre porque el sistema tiene una retroalimentación positiva durante el deslizamiento:

velocidad ↑ aumenta friccion ↓ decrece fuerza neta ↑ acelera mas ciclo inestable + + +
Es inestable porque la friccion debilita con la velocidad: el movimiento se auto-alimenta.
Si la fricción fuera constante o aumentara con v → esta retroalimentación no existiría → sistema estable.

El weakening como eje: tres casos

Todo el fenómeno depende de cómo varía μ con la velocidad.

μ = constante

Coulomb puro v μ

No hay retroalimentación. No hay stick-slip.

μ crece con v

Velocity strengthening v

μ crece → fricción resiste el movimiento. Deslizamiento estable (creep asísmico).

μ decrece con v

Velocity weakening v

μ decrece → retroalimentación positiva → posible stick-slip.

Conclusión: el stick-slip es la consecuencia directa de velocity weakening + carga elástica. Sin weakening → sin stick-slip.

El modelo más simple: masa-resorte

Para capturar la competencia entre elasticidad y friction weakening:

Un bloque de masa \(m\) sobre superficie con fricción \(\mu(v)\), conectado a un driver que tira con velocidad \(V\):

m driver V k superficie rugosa: μ(v) mg
\( m\,\ddot{x} = -k(Vt + x) - \mu(\dot{x})\,mg \)
El driver se aleja → el resorte se estira → se acumula energía elástica → posible inestabilidad.
ElementoRepresenta
Masa mBloque (o aspereza de una falla)
Resorte kRigidez elástica del sistema de carga
Velocidad VTasa de carga (vel. de placa tectónica)
Fricción μ(v)Ley constitutiva del contacto

El modelo más simple: masa-resorte

Para capturar la competencia entre elasticidad y friction weakening en su forma mas simple:

Un bloque de masa \(m\) sobre superficie con fricción \(\mu(v)\), conectado a un driver que tira con velocidad \(V\):

m driver V k superficie rugosa: μ(v) mg
\( m\,\ddot{x} = -k(Vt + x) - \mu(\dot{x})\,mg \)
El driver se aleja → el resorte se estira → se acumula energía elástica → posible inestabilidad.
El resorte captura la elasticidad:
Si x < Vt: el resorte se tensa → energía almacenada.
Si x = Vt: equilibrio.
La fricción μ(v) captura el weakening:
Si μ es constante → deslizamiento estable.
Si μ decrece con v → posible inestabilidad.
Amplitud: \(\Delta F = (\mu_s - \mu_d)\,mg\)   Período: \(T \approx \Delta F / (kV)\)

El núcleo físico: la competencia

El modelo revela dos mecanismos en competencia:

El resorte (k)

ESTABILIZA

Si el bloque acelera, el resorte se relaja → la fuerza disminuye → tiende a frenar el movimiento y devolver el equilibrio.

Realimentación negativa.

vs

El weakening (dμ/dv < 0)

DESESTABILIZA

Si el bloque acelera, la friccion cae → la fuerza de oposicion disminuye → el bloque sigue acelerando.

Realimentación positiva.


k grande → el resorte gana → estable. k pequeño → el weakening gana → stick-slip.

Condición de inestabilidad

El sistema es inestable (stick-slip) cuando la fricción decrece con la velocidad: \(d\mu/dv < 0\).

Rigidez crítica:

\( k_c = -mg\,\left.\dfrac{d\mu}{dv}\right|_{v=V} \)
\(k < k_c\): stick-slip — el weakening gana a la rigidez.
\(k > k_c\): deslizamiento estable — el resorte gana.
Analogía geolígica: la rigidez de la corteza terrestre y la tasa de weakening determinan si una falla produce terremotos (stick-slip) o creep asísmico.

Interpretación gráfica:

ẋ (velocidad del bloque) μ(ẋ) velocity weakening dμ/dẋ < 0 V k_c = mg|dμ/dẋ|

Rice & Ruina, J. Appl. Mech. 50, 343 (1983).

Derivación de la rigidez crítica

Perturbamos el estado estacionario de deslizamiento ($\dot{x} = V$):

$m\ddot{x} = \underbrace{k(Vt-x)}_{F_s} - \underbrace{\mu(\dot{x})\,mg}_{F_f}$
Rigidez del resorte (definicion):
$F_s = k(Vt-x) \;\Rightarrow\; k = -\dfrac{\partial F_s}{\partial x}$
Perturbación $x \to x + \delta x$:
$m\,\delta\ddot{x} = -k\,\delta x - \dfrac{dF_f}{dx}\,\delta x$

$m\,\delta\ddot{x} = -\!\left(k + \dfrac{dF_f}{dx}\right)\delta x$
Estabilidad: $\quad k + \dfrac{dF_f}{dx} > 0$
Rigidez critica (cambio de signo del coeficiente):
$k_c = -\dfrac{dF_f}{dx}\bigg|_V = mg\!\left|\dfrac{d\mu}{d\dot{x}}\right|_V$

Consecuencias:

$k > k_c$: la perturbacion se amortigua → deslizamiento estable
$k < k_c$: la perturbacion crece → stick-slip (inestable)
ẋ μ(ẋ) pend. = dμ/dẋ < 0 V k_c = mg|dμ/dẋ|

Rice & Ruina, J. Appl. Mech. 50, 343 (1983).

Aplicación: fallas geológicas y ciclo sísmico

Las zonas de falla contienen una capa de gouge (material granular triturado). El ciclo sísmico es stick-slip a escala geológica:

ModeloFalla geologica
Masa mAspereza (zona bloqueada de la falla)
Resorte kRigidez elástica de la corteza
Velocidad VVelocidad de la placa tectónica
Friccion μ(v)Fricción en la zona de cizallamiento
Fase stickPeriodo interSísmico (carga lenta)
Fase slipRuptura cosísmica (terremoto)
Condición clave: la falla produce terremotos si $k < k_c$. Si $k$ es grande → creep asísmico.

Scholz, The Mechanics of Earthquakes and Faulting (2019).

Modelo Rate-and-State

Ley empírica de fricción que captura la dependencia en velocidad y el envejecimiento del contacto:

\( \mu = \mu_0 + a\ln\!\left(\dfrac{v}{v_0}\right) + b\ln\!\left(\dfrac{v_0\,\theta}{D_c}\right) \)

Stick-Slip vs Rate-and-State:

Stick-SlipRate-and-State
TipoFenómeno dinámicoLey constitutiva
DescribeOscilacionesComo cambia μ
BasePuede existir con Coulomb simpleIntroduce memoria explicita
EnvejecimientoNo incluyeIncluye evolucion del contacto
desplazamiento μ μ₀ +a −b D_c v₀ → v₁ > v₀ μ₀+(a−b)ln(v₁/v₀)

Dieterich (1979); Ruina (1983); Marone (1998).

Modelo Rate-and-State

Ley empírica de fricción que captura la dependencia en velocidad y el envejecimiento del contacto:

\( \mu = \mu_0 + a\ln\!\left(\dfrac{v}{v_0}\right) + b\ln\!\left(\dfrac{v_0\,\theta}{D_c}\right) \)

Stick-Slip vs Rate-and-State:

Evolucion del estado θ:
Aging: \(\dot{\theta} = 1 - \dfrac{v\,\theta}{D_c}\)
Slip: \(\dot{\theta} = -\dfrac{v\,\theta}{D_c}\ln\!\left(\dfrac{v\,\theta}{D_c}\right)\)
\(a - b < 0\): velocity weakening → sismogénico
\(a - b > 0\): velocity strengthening → creep asísmico
desplazamiento μ μ₀ +a −b D_c v₀ → v₁ > v₀ μ₀+(a−b)ln(v₁/v₀)

Dieterich (1979); Ruina (1983); Marone (1998).

Modelo de Burridge-Knopoff (1967)

Extensión del bloque único a una cadena de \(N\) bloques acoplados elásticamente:

\( m\,\ddot{X}_j = K(X_{j+1} - 2X_j + X_{j-1}) - k_p(X_j - vt) - F\!\left(\dot{X}_j\right) \)
Placa tectonica (velocidad v →) m m m ··· m K (inter-bloques) k_p F(v) friccion
  • \(K\) = acoplamiento entre asperidades (rigidez de la corteza)
  • \(k_p\) = acoplamiento con la placa tectonica
  • \(v\) = velocidad de la placa
  • \(F(v)\) = fricción velocity-dependent
Resultado clave: produce stick-slip caótico y distribuciones en ley de potencia → explica naturalmente la ley de Gutenberg-Richter.
El modelo BK es el paradigma fundamental para modelar terremotos: sismicidad compleja.

Burridge & Knopoff, Bull. Seismol. Soc. Am. 57, 341 (1967).

IDEAS CLAVE — CLASE 7

Stick-slip: un mecanismo universal

El fenómeno

Señal en diente de sierra. Un ciclo periodico de carga lenta y liberación abrupta de energía elástica.

El mecanismo

Velocity weakening → retroalimentación positiva → el sistema no puede encontrar un estado estacionario estable.

La condición

k < k_c: el weakening gana a la rigidez. No todo sistema con weakening produce stick-slip.

El mismo mecanismo a todas las escalas:

tiza (mm) → violin (cm) → falla de laboratorio (dm) → terremotos (km)