CLASE 4 - GEOFISICA DE MEDIOS GRANULARES

MECANICA DE CONTACTO:
LEY DE HERTZ

THOMAS GALLOT,
CAMILA SEDOFEITO

Instituto de Fisica,
Facultad de Ciencias,
Universidad de la Republica

Plan de la clase

Problema de Hertz: contacto entre dos esferas
Relacion fuerza-deformacion no lineal
Cadena de Nesterenko y solitones
Derivacion aproximada (analisis dimensional)
Derivacion exacta (Boussinesq)
Colision frontal: penetracion y duracion
Coeficiente de restitucion
Modelo de corteza blanda (de Gennes)
Extension: JKR y adhesion

Relacion fuerza-deformacion

Comparacion con un resorte lineal:

Resorte: $F = k\delta$ (lineal)
Hertz: $F = k\delta^{3/2}$ (no lineal)

La no-linealidad tiene consecuencias profundas para la propagacion de ondas en medios granulares.

Rigidez del contacto:
$K(\delta) = \dfrac{dF}{d\delta} = \dfrac{3}{2}\,k\,\delta^{1/2}$

La rigidez es nula al inicio del contacto ($\delta = 0$) y crece con la compresion.

                        Ondas solitarias:

                        La no-linealidad del contacto de Hertz permite la propagacion de ondas solitarias en cadenas de esferas (Nesterenko, 1983).

Paso 1: Geometria del contacto

Del triangulo $OAB$, Pitagoras:

$$a^2 + (R - \delta)^2 = R^2$$

Expandiendo:

$$a^2 = 2R\delta - \delta^2$$

Como $\delta \ll R$:

$$a^2 \approx 2R\,\delta$$

Para dos esferas, $R \to R^*$:

$$\boxed{a = \sqrt{R^*\,\delta}}$$

Resultado puramente geometrico.

Ley de fuerza de Hertz

La fuerza normal entre dos esferas en contacto elastico es:

$F = k \;\delta^{3/2}$

Con el coeficiente de Hertz $k$:

$k = \dfrac{4}{3}\,E^*\sqrt{R^*}$

Energia elastica almacenada en un contacto de Hertz:

$\Delta E_e = W_e =\int_0^\delta F\,d\delta' = \dfrac{2}{5}\,k\,\delta^{5/2}$

Energia elastica almacenada en un resorte ($F=K\delta$):

$\Delta E_e = W_e = \int_0^\delta F\,d\delta' =K\,\dfrac{\delta^{2}}{2}\,$

Para esferas identicas ($R_1 = R_2 = R$):

$k = \dfrac{4\sqrt{2}}{15}\,\dfrac{E}{1-\nu^2}\,\sqrt{R}$

                        Propiedad fundamental:

                        La ley de Hertz es no lineal: exponente $3/2$.

                        La rigidez $dF/d\delta = \tfrac{3}{2}k\sqrt{\delta}$ aumenta con la deformacion.

                        Hipotesis:
                        Materiales elasticos, isotropos
Deformaciones pequenas ($\delta \ll R$)
Sin friccion en el contacto
Superficies lisas (sin asperezas)

                    

Ley de Hertz: propiedades

$$F = \frac{4}{3}\,E^*\sqrt{R^*}\;\delta^{3/2}$$

Rigidez del contacto:

$$K(\delta) = \frac{dF}{d\delta} = 2\,E^*\sqrt{R^*}\;\delta^{1/2}$$

La rigidez crece con la compresion.

Derivacion de p(r): construccion incremental

Idea: construir el contacto de Hertz empujando la esfera progresivamente. En cada paso, la zona de contacto crece de $a'$ a $a'+da'$. Ese incremento equivale a un punch plano circular de radio $a'$.

Dato: presion de un punch plano

Un disco rigido de radio $a'$ hundido $d\delta'$ en un semi-espacio elastico ejerce:

$$dp(r) = \frac{E^*}{\pi}\,\frac{d\delta'}{\sqrt{a'^2 - r^2}}, \quad r < a'$$

(resultado clasico de Boussinesq, 1885 -- la singularidad en $r=a'$ es integrable)

Cambio de variable

De la geometria: $a'^2 = R^*\delta'$, entonces $2a'\,da' = R^*\,d\delta'$:

$$d\delta' = \frac{2\,a'}{R^*}\,da'$$

Superposicion de todos los incrementos

La presion total en $r$ es la suma de todos los punches de radio $a' \geq r$:

$$p(r) = \int_{a'=r}^{a}\frac{E^*}{\pi}\,\frac{1}{\sqrt{a'^2-r^2}}\;\frac{2\,a'}{R^*}\,da' \;=\; \frac{2E^*}{\pi R^*}\!\int_{r}^{a}\!\frac{a'\,da'}{\sqrt{a'^2-r^2}}$$

Cambio $u = a'^2 - r^2$, $du = 2a'\,da'$:

                    $$p(r) = \frac{2E^*}{\pi R^*}\;\frac{1}{2}\!\int_0^{a^2-r^2}\!\frac{du}{\sqrt{u}}
                    \;=\; \frac{2E^*}{\pi R^*}\,\sqrt{a^2 - r^2}$$
                

                    $$\boxed{\;p(r) = p_0\,\sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}}\;} \qquad \text{con}\;\; p_0 = \frac{2\,E^*\,a}{\pi\,R^*}$$
                

Parametros generales

Dos esferas elasticas de radios $R_1$ y $R_2$, modulos de Young $E_1$, $E_2$ y coeficientes de Poisson $\nu_1$, $\nu_2$, se comprimen con una fuerza $F$, produciendo una interpenetracion $\delta$.

Radio efectivo:

$$\frac{1}{R^*} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$$

Modulo efectivo:

$$\frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}$$

Para esferas identicas: $R^* = R/2$, $E^* = E/[2(1-\nu^2)]$

$\delta$ = interpenetracion (acercamiento de centros) $a$ = radio de la zona de contacto $R$ = radio de la esfera

▼ ¿De donde vienen R* y E*? ▼

¿De donde viene R*?

Dos esferas de radios $R_1$ y $R_2$ se tocan en un punto. A distancia $r$ del contacto, cada superficie se aleja del plano tangente comun:

$$h_1 \approx \frac{a^2}{2R_1} \qquad h_2\approx \frac{a^2}{2R_2}$$

El gap total entre las dos superficies:

                            $$h = h_1 + h_2 = \frac{a^2}{2}\!\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right) = \frac{a^2}{2R^*}$$
                        

Casos particulares:

Esfera + plano ($R_2\!\to\!\infty$): $R^* = R_1$
Esferas iguales: $R^* = R/2$
Esfera en cavidad ($R_2 < 0$): $1/R^* = 1/R_1 - 1/|R_2|$

¿De donde viene E*?

La presion $p(\mathbf{r})$ en el contacto deforma ambas superficies. Cada cuerpo se hunde proporcionalmente a su compliance elastica:

$$u_{z,1} \propto \frac{1\!-\!\nu_1^2}{\pi\,E_1}$$

$$u_{z,2} \propto \frac{1\!-\!\nu_2^2}{\pi\,E_2}$$

La deformacion total es la suma:

                    $$u_z = u_{z,1} + u_{z,2} \propto  \frac{1}{\pi\,E^*}$$
                    con \(\displaystyle\frac{1}{E^*} = \frac{1\!-\!\nu_1^2}{E_1} + \frac{1\!-\!\nu_2^2}{E_2}\)
                

                    Esta integral (solucion de Boussinesq, 1885) da el hundimiento de un semi-espacio elastico bajo una carga. La derivaremos en detalle mas adelante.
                

                    Casos particulares:

                    Plano rigido (\(E_2\!\to\!\infty\)): \(E^* = \frac{E_1}{1-\nu_1^2}\) — solo se deforma la esfera

                    Iguales: \(E^* = \frac{E}{2(1-\nu^2)}\)

Perfil de interpenetracion $\delta'(r)$

Punto $P$ sobre la esfera a distancia horizontal $r$ del eje $OB$; sea $M$ el pie de perpendicular de $P$ al eje. La interpenetracion local $\delta'(r)$ satisface $\delta'(0)=\delta$, $\delta'(a)=0$.

Pitagoras en triangulo rectangulo $OMP$:

$$r^2 + \bigl(R - \delta + \delta'(r)\bigr)^2 = R^2$$

(caso particular $\delta'(a)=0$: se recupera Paso 1, $a^2 = 2R\delta$).

Expandiendo, con $\delta, r \ll R$ (terminos cuadraticos despreciables):

$$r^2 \approx 2R\,\bigl(\delta - \delta'(r)\bigr)$$

$$\delta'(r) = \delta - \dfrac{r^2}{2R}$$

Del Paso 1, $a^2 = 2R\delta \Rightarrow \dfrac{1}{2R}=\dfrac{\delta}{a^2}$, luego:

$$\delta'(r) = \delta\,\dfrac{a^2 - r^2}{a^2}$$

$$\dfrac{\delta'(r)}{\delta} = 1 - \left(\dfrac{r}{a}\right)^{\!2}$$

$$\dfrac{\delta}{\delta'(r)} = \dfrac{a^2}{a^2 - r^2}$$

Distribucion de presion $p(r)$

Si la presion es homogénea, la presion local es proporcional a la compresion volumetrica: $p(r) \propto \Delta V / V$.

Volumen comprimido en un anillo de radio $r$:

$$\Delta V = \delta'(r)\,\pi\,dr^{2}$$

Tomando el cociente entre un punto arbitrario $r$ y el centro $r=0$:

$$\dfrac{p(r)}{p_{0}} = \dfrac{\delta'(r)}{\delta}$$

Usando $\dfrac{\delta'(r)}{\delta} = 1 - \dfrac{r^{2}}{a^{2}}$, la solución para una distribución homogenea de presión en el vólumens: $\quad p(r) = p_{0}\,\left(1 - \dfrac{r^{2}}{a^{2}}\right).$

La solución de Boussinesq para obtener una deformación cuadratica (en $r$) es un poco distinta:

$$p(r) = p_{0}\,\sqrt{1 - \dfrac{r^{2}}{a^{2}}}$$

Fuerza total: integracion de $p(r)$ sobre el disco

La fuerza normal es la integral de la presion sobre el area de contacto (anillos de radio $r$, ancho $dr$, area $2\pi r\,dr$):

$$F = \int_0^a p(r)\cdot 2\pi r\,dr = 2\pi p_0 \int_0^a r\,\sqrt{1 - \dfrac{r^2}{a^2}}\,dr$$

Cambio de variable $u = 1 - r^2/a^2\;\Rightarrow\; r\,dr = -\tfrac{a^2}{2}\,du$ ($u:1\to 0$):

$$F = 2\pi p_0 \cdot \tfrac{a^2}{2}\int_0^1 u^{1/2}\,du = \pi a^2 p_0 \cdot \tfrac{2}{3}$$

$$F = \tfrac{2}{3}\,\pi a^{2}\,p_{0}$$

                    Dos lecturas equivalentes:
                    Presion media: \(\bar p = \tfrac{2}{3}\,p_0\), luego \(F = \bar p \cdot \pi a^2\).
Volumen del semi-elipsoide de base \(\pi a^2\) y altura \(p_0\): \(V = \tfrac{2}{3}\cdot(\text{base})\cdot(\text{altura})\).

                

Paso 2a: Fuerza = Presion × Area

Deformacion (Saint-Venant) y presion (Hooke): $\;\varepsilon = \delta/a$, $\;p = E^*\delta/a$. Area: $A = \pi a^2$.

$$F = p \cdot A = E^*\frac{\delta}{a}\cdot \pi a^2 = \pi E^* a\,\delta \;\xrightarrow{a=\sqrt{R^*\delta}}\; \pi E^*\sqrt{R^*}\;\delta^{3/2}$$

$$\boxed{F = \pi\, E^*\sqrt{R^*}\;\delta^{3/2}} \qquad\text{(prefactor }\pi \approx 3.14\text{)}$$

Paso 2b: Metodo energetico

Zona deformada: hemisferio de radio $a$. Energia = densidad $\times$ volumen:

$$U_{\text{el}} = \underbrace{\tfrac{1}{2}E^*\varepsilon^2}_{w}\cdot\underbrace{\tfrac{2}{3}\pi a^3}_{V} = \tfrac{1}{2}E^*\tfrac{\delta^2}{a^2}\cdot\tfrac{2}{3}\pi a^3 = \tfrac{\pi}{3}E^*\delta^2 a \;\xrightarrow{a=\sqrt{R^*\delta}}\; \tfrac{\pi}{3}E^*\sqrt{R^*}\,\delta^{5/2}$$

Fuerza $F = dU_{\text{el}}/d\delta$:

$$F = \frac{\pi}{3}\cdot\frac{5}{2}\;E^*\sqrt{R^*}\;\delta^{3/2}$$

$$\boxed{F = \frac{5\pi}{6}\;E^*\sqrt{R^*}\;\delta^{3/2}} \qquad\text{(prefactor }\tfrac{5\pi}{6} \approx 2.62\text{)}$$

                    Ambos metodos dan \(\delta^{3/2}\).
                    Prefactores: metodo 1 → \(\pi \approx 3.14\),   metodo 2 → \(\frac{5\pi}{6} \approx 2.62\),   exacto (Hertz) → \(\frac{4}{3} \approx 1.33\).
                    La diferencia: \(\varepsilon = \delta/a\) sobreestima la deformacion real (no uniforme).
                

Derivacion exacta (I): solucion de Boussinesq

Una fuerza puntual $F$ [N] aplicada sobre la superficie de un semi-espacio elastico infinito produce un hundimiento $u_z$ [m] que decae con la distancia $r$:

$$u_z(r) = \frac{1-\nu^2}{\pi E}\;\frac{F}{r}$$

Solucion de Boussinesq (1885). Analogo al potencial electrostatico de una carga puntual: $V = q/(4\pi\epsilon_0 r)$. Ambos decaen como $1/r$.

Intuicion fisica:

$u_z \propto F$: material lineal (Hooke)
$u_z \propto 1/r$: la fuerza se reparte sobre un area $\sim r^2$, el esfuerzo decae como $F/r^2$, y la deformacion integrada sobre profundidad $\sim r$ da $F/r$
$u_z \propto (1\!-\!\nu^2)/E$: compliance del material

Para una presion distribuida $p(s)$ sobre un area $A$, se superpone:

$$u_z(\mathbf{r}) = \frac{1}{\pi E^*}\iint_A \frac{p(\mathbf{s})}{|\mathbf{r}-\mathbf{s}|}\,dA$$

Ecuaciones fundamentales

1. Equilibrio estatico (balance de momento):

$$\sigma_{ij,j} + f_i = 0$$

$f_i$: fuerza de volumen (para carga puntual: $f_i = F\,\delta(\mathbf{r})\,\delta_{i3}$)

2. Ley de Hooke (material isotropo lineal):

$$\sigma_{ij} = \lambda\,\varepsilon_{kk}\,\delta_{ij} + 2\mu\,\varepsilon_{ij}$$

$\lambda, \mu$: constantes de Lame; $\mu = G = \frac{E}{2(1+\nu)}$

3. Deformacion-desplazamiento (pequenas deformaciones):

$$\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}\left(u_{i,j} + u_{j,i}\right)$$

Combinando 1 + 2 + 3 → ecuacion de Navier:

$$(\lambda + 2\mu)\,u_{j,ji} + \mu\,u_{i,jj} + f_i = 0$$

O en forma vectorial:

$$(\lambda + 2\mu)\,\nabla(\nabla\!\cdot\!\mathbf{u}) - \mu\,\nabla\!\times\!(\nabla\!\times\!\mathbf{u}) + \mathbf{f} = 0$$

                            Una sola ecuacion vectorial en \(\mathbf{u}\) con fuente \(\mathbf{f}\).

                            Estructura similar a las ecuaciones de campo en electromagnetismo.

Analogia: elasticidad ↔ electrostatica

Con $\mu = \frac{E}{2(1+\nu)}$, $\lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$, y la identidad $\nabla\!\times\!(\nabla\!\times\!\mathbf{u}) = \nabla(\nabla\!\cdot\!\mathbf{u}) - \nabla^2\mathbf{u}$, Navier se reescribe:

$$\nabla^2 \mathbf{u} + \frac{1}{1-2\nu}\,\nabla(\nabla\!\cdot\!\mathbf{u}) = -\frac{2(1+\nu)}{E}\,\mathbf{f}$$

Electrostatica — carga puntual $q$:

$$\nabla^2 V = -\frac{1}{\epsilon_0}\;q\,\delta(\mathbf{r})$$

Solucion:

$$V(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\frac{q}{r}$$

Elasticidad — fuerza puntual $F$:

$$\underbrace{\nabla^2 \mathbf{u}}_{\text{Laplaciano}} + \underbrace{\frac{1}{1-2\nu}\,\nabla(\nabla\!\cdot\!\mathbf{u})}_{\text{acoplamiento vectorial}} = -\frac{2(1+\nu)}{E}\,F\,\delta(\mathbf{r})\,\hat{z}$$

Solucion en superficie (Boussinesq):

$$u_z(r) = \frac{1-\nu^2}{\pi E}\;\frac{F}{r}$$

¿De donde sale el prefactor? Factorizando:

$$\frac{1-\nu^2}{\pi E} = \underbrace{\frac{2(1+\nu)}{E}}_{\substack{\text{``compliance''} \\ \text{(rol de } 1/\epsilon_0\text{)}}} \;\times\; \underbrace{\frac{1}{4\pi}}_{\substack{\text{Green de} \\ \nabla^2 \text{ en 3D}}} \;\times\; \underbrace{2(1-\nu)}_{\substack{\text{semi-espacio} \\ \text{+ acoplamiento}}}$$

                    Misma estructura:   \(\nabla^2\) + fuente puntual   \(\Rightarrow\)   solucion \(\propto 1/r\) en 3D.

                    El factor \(2\) viene del semi-espacio (como en electro: campo \(\times 2\) en un conductor). El factor \((1-\nu)\) viene del termino de acoplamiento \(\nabla(\nabla\!\cdot\!\mathbf{u})\).

De la analogia a la solucion de Boussinesq

En electrostatica, la solucion para una carga puntual sobre un conductor (semi-espacio) se obtiene por el metodo de imagenes:

$$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} - \frac{q}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0'|}\right)$$

En elasticidad, se hace lo mismo: la solucion de Kelvin (fuerza puntual en medio infinito) juega el rol de la carga en espacio libre. Para el semi-espacio $z \geq 0$:

$$u_z^{\text{Bouss}} = u_z^{\text{Kelvin}}(z) + u_z^{\text{imagen}}(-z) + \text{correccion}$$

La correccion extra (sin analogo en electro) viene de que $\mathbf{u}$ es vectorial, no escalar.

                                Evaluando en la superficie \(z = 0\):

                                los tres terminos se combinan y dan

$$\boxed{u_z(r) = \frac{1-\nu^2}{\pi E}\;\frac{F}{r}}$$

donde el prefactor $\dfrac{1-\nu^2}{\pi E}$ juega exactamente el rol de $\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}$ en electrostatica.

Demo Boussinesq: planteamiento

Problema: fuerza puntual $F$ en el origen de un semi-espacio elastico ($z \geq 0$). Hallar el desplazamiento vertical $u_z(r)$ en la superficie.

Simetria: problema axisimetrico → coordenadas cilindricas $(r, \theta, z)$. Todos los campos dependen solo de $r$ y $z$.

Analisis dimensional: la unica longitud en el problema es $r$ mismo. Entonces:

Esfuerzo: $\sigma \sim F/r^2$ (fuerza / area a distancia $r$)
Deformacion: $\varepsilon \sim \sigma/E \sim F/(Er^2)$
Desplazamiento: $u \sim \varepsilon \cdot r \sim F/(Er)$

⇒ La dependencia $u_z \propto F/(Er)$ sale solo por dimensiones!

Condiciones de contorno (determinan el prefactor numerico):

Superficie libre: $\sigma_{zz}(r, z\!=\!0) = 0$ para $r > 0$
Equilibrio: $\displaystyle\int_{\text{hemisferio } R} \sigma_{zz}\, dA = F$ para todo $R$
Regularidad: $u \to 0$ cuando $r \to \infty$

Demo Boussinesq: solucion de Kelvin → semi-espacio

Estrategia: partir de la solucion de Kelvin (fuerza puntual en medio infinito), luego imponer la condicion de superficie libre.

Paso 1 — Solucion de Kelvin (analogo a campo de carga puntual en electro):

$$u_z^{\text{Kelvin}} = \frac{F}{16\pi G(1-\nu)}\left[\frac{z^2}{R^3} + \frac{3-4\nu}{R}\right], \qquad R = \sqrt{r^2 + z^2}$$

donde $G = E/[2(1+\nu)]$ es el modulo de corte.

Paso 2 — Metodo de imagenes (como cargas imagen en electro):

Para el semi-espacio $z \geq 0$, se necesita $\sigma_{zz} = 0$ en $z = 0$. Se agrega un termino corrector que cancela las tensiones de corte en la superficie:

$$u_z^{\text{Bouss}} = u_z^{\text{Kelvin}}(z) + u_z^{\text{Kelvin}}(-z) + \text{correccion superficial}$$

Paso 3 — Evaluacion en la superficie $(z = 0 \Rightarrow R = r)$:

Tras la algebra (combinando los tres terminos), se obtiene en $z = 0$:

$$\boxed{u_z(r) = \frac{(1-\nu^2)}{\pi E}\;\frac{F}{r}}$$

El factor $(1-\nu^2)/\pi$ proviene de la combinacion exacta de la solucion de Kelvin + imagenes evaluada en $z = 0$.

Demo Boussinesq: verificacion y limites

Verificaciones del resultado $\;u_z(r) = \frac{1-\nu^2}{\pi E}\frac{F}{r}$:

Test	Resultado
Dimensiones	$[u_z] = \frac{1}{Pa}\cdot\frac{N}{m} = \frac{m}{1} \;\checkmark$
Equilibrio	$\displaystyle\int \sigma_{zz}\,dA = F$ en todo plano $z = \text{cte} \;\checkmark$
Incompresible $(\nu = 0.5)$	$u_z = \frac{3F}{4\pi E r}$ — rigidez aumenta (factor $\frac{3}{4}$)
Compresible $(\nu = 0)$	$u_z = \frac{F}{\pi E r}$ — maxima compliance

Divergencia en $r = 0$:

                    \(u_z \to \infty\) cuando \(r \to 0\): carga puntual = esfuerzo infinito en el contacto.

                    ⇒ Es imposible un contacto puntual real. La fuerza debe repartirse sobre un area finita → eso es exactamente el problema de Hertz!

Observacion (2D vs 3D):

Para una carga lineal (2D), el desplazamiento diverge logaritmicamente: $u_z \propto \ln(r)$. Esto hace el problema 2D mas delicado — no existe solucion con $u \to 0$ al infinito. En 3D, el decaimiento $1/r$ es suficientemente rapido.

Boussinesq, J. (1885). Application des potentiels a l'etude de l'equilibre et du mouvement des solides elastiques, Gauthier-Villars. — Derivacion completa en Johnson, Contact Mechanics (1985), Ch. 3.

Derivacion exacta (II): distribucion de presion

1. Sin fuerza, la esfera toca el plano en un punto. A distancia $r$, la separacion entre superficies es:

$$h(r) \approx \frac{r^2}{2R^*}$$

2. Con fuerza $F$, la esfera se acerca $\delta$, contacto en $r \leq a$. Las superficies deben coincidir → la deformacion rellena el gap:

$$u_z(r) = \delta - \frac{r^2}{2R^*}$$

3. Hertz: la unica presion que produce este $u_z$ parabolico via Boussinesq es semi-eliptica:

$$p(r) = p_0\sqrt{1 - r^2/a^2}$$

4. En las siguientes slides, caclulamos la deformación calculada a partir de la expresión $p(r)$ :

$$u_z(r) = \frac{\pi p_0}{4 E^* a}\left(2a^2 - r^2\right) $$

▼ Demostracion formal abajo ▼

Demo formal: sustitucion en la integral de Boussinesq

Queremos verificar que $p(r) = p_0\sqrt{1 - r^2/a^2}$ produce un desplazamiento parabolico. Sustituimos en la integral:

$$u_z(r) = \frac{1}{\pi E^*}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^a \frac{p_0\sqrt{1 - \rho^2/a^2}}{\sqrt{r^2 + \rho^2 - 2r\rho\cos\varphi}}\;\rho\,d\rho\,d\varphi$$

La integral con kernel $1/|\mathbf{r}-\mathbf{s}|$ tiene la misma forma que un potencial gravitatorio. Hertz uso resultados de teoria del potencial para evaluarla. Para la presion semi-eliptica el resultado es:

$$\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^a \frac{p_0\sqrt{1-\rho^2/a^2}}{\sqrt{r^2+\rho^2-2r\rho\cos\varphi}}\;\rho\,d\rho\,d\varphi = \frac{\pi^2 p_0}{4a}\left(2a^2 - r^2\right)$$

Resultado de la sustitucion:

                        $$u_z(r) = \frac{\pi p_0}{4 E^* a}\left(2a^2 - r^2\right) \quad\text{para } r \leq a$$
                    

El desplazamiento es efectivamente parabolico en $r^2$, como lo exige la geometria. ✔

Demo formal: igualacion de coeficientes

Comparamos Boussinesq con la condicion geometrica:

$$\underbrace{\frac{\pi p_0}{4E^*a}\left(2a^2 - r^2\right)}_{\text{Boussinesq}} = \underbrace{\delta - \frac{r^2}{2R^*}}_{\text{geometria}}$$

Termino $r^0$: $\;\frac{\pi p_0 a}{2E^*} = \delta$. Coeficiente de $r^2$:

$$\frac{\pi p_0}{4E^*a} = \frac{1}{2R^*} \;\Longrightarrow\; p_0 = \frac{2aE^*}{\pi R^*} \;\Longrightarrow\; \delta = \frac{a^2}{R^*}$$

Fuerza: $F = \tfrac{2}{3}\pi a^2 p_0 = \tfrac{2}{3}\pi a^2\cdot\tfrac{2aE^*}{\pi R^*} = \tfrac{4}{3}\tfrac{a^3 E^*}{R^*}$. Con $a^2 = R^*\delta$:

$$\boxed{F = \frac{4}{3}\frac{a^3 E^*}{R^*} = \frac{4}{3}\,E^*\sqrt{R^*}\;\delta^{3/2}} $$

Cadena de Nesterenko

Cadena unidimensional de esferas en contacto: modelo fundamental para la propagación de ondas en medios granulares.

Contacto de Hertz: la fuerza entre dos esferas es no-lineal:

$F = k\,\delta^{3/2}$

donde $\delta$ es la deformación y $k$ depende de los módulos elásticos y radios.

Consecuencias:

Sin precompresión: no hay velocidad del sonido lineal ($c = 0$)
Propagación de ondas solitarias (solitones de Nesterenko)
Ancho del solitón: $\sim 5$ diámetros de esfera (independiente de amplitud)
Velocidad: $V_s \propto F_m^{1/6}$ (depende de la amplitud)

Cadena 1D de esferas de Hertz

Ecuación de movimiento (grano $n$):

$m\ddot{u}_n = k\left[\delta_0 + u_{n-1} - u_n\right]_+^{3/2} - k\left[\delta_0 + u_n - u_{n+1}\right]_+^{3/2}$

donde $[x]_+ = \max(x,0)$ (no hay tracción entre esferas).

Referencia: Nesterenko, Dynamics of Heterogeneous Materials, Springer (2001).

Solitón de Nesterenko

Sin precompresión ($\delta_0 = 0$): el medio es "sónico vacío" (no propaga ondas lineales).

Nesterenko (1983) demostró que la solución exacta para una cadena infinita es un pulso solitario con perfil:

$\xi_n(t) \propto \cos^4\!\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\,\frac{n - V_s t}{a}\right)$

Propiedades:

Ancho fijo: $\approx 5a$ (5 diámetros)
$V_s \propto F_m^{1/6}$: ondas más intensas viajan más rápido
Al impactar un borde libre: la energía se refleja como un tren de solitones más pequeños

Con precompresión ($\delta_0 > 0$): transición hacia comportamiento lineal con velocidad del sonido $c \propto \delta_0^{1/4}$.

Aplicaciones:

Ensayos no destructivos (NDE)
Protección contra impactos
Filtros acústicos no lineales
Detección de defectos en estructuras

Longitud de onda vs. amplitud:

A diferencia de las ondas lineales, el solitón granular tiene ancho independiente de la amplitud, pero velocidad dependiente de la amplitud.

Veremos más detalles en clases posteriores (Clase 4).

Colision frontal: penetracion y duracion

Dos esferas identicas de radio $R$ y masa $M$, acercandose a velocidad relativa $v$. Conservacion de energia:

$E_k=E_e \implies \frac{1}{2}m^* v^2 = \frac{2}{5}\,k\,\delta_{\max}^{5/2}$

con masa reducida $m^* = M/2$.

Penetracion maxima:

$\delta_{\max} = \left(\frac{5\,m^*\,v^2}{4\,k}\right)^{2/5}$

Duracion de la colision:

$\tau = 2.94 \left(\frac{m^{*2}}{k^2\, v}\right)^{1/5}$

                        Resultado notable: $\tau \propto v^{-1/5}$

                        La duracion depende muy poco de la velocidad!

Ejemplo numerico:
Esferas de aluminio, $d = 1.5$ mm, $v = 5$ cm/s

$E = 6 \times 10^{11}$ dyn/cm²
$\nu \approx 0.3$
$k = 7 \times 10^{10}$ (cgs)

$\tau \approx 5\,\mu$s

                        Limite elastico?

                        $\delta_{\max} \approx 2\,\mu$m → deformacion relativa $\sim 10^{-3}$

                        Muy cerca del regimen plastico!

                        Las asperezas se deforman plasticamente.

Coeficiente de restitucion

Relacion entre las velocidades relativas antes ($v_c^{(n)}$) y despues ($u_c^{(n)}$) de la colision:

$u_c^{(n)} = -\varepsilon\, v_c^{(n)}$

Material	$\varepsilon$
Acero sobre acero	~0.65
Vidrio sobre vidrio	~0.95
Madera sobre madera	~0.50
Plomo sobre plomo	~0.20

Energia cinetica disipada: $\Delta E_k = \tfrac{1}{2}m^* v^2(1 - \varepsilon^2)$

                        $\varepsilon = 1$: colision perfectamente elastica

                        $\varepsilon = 0$: colision perfectamente inelastica

                        Energia disipada: proporcion $(1 - \varepsilon^2)$

                        Modelo viscoelastico:

                        Para esferas viscoelasticas (Hertz + disipacion):
                        $\varepsilon \approx 1 - c_1 \,v^{1/5} + c_2 \,v^{2/5} - \ldots$

                        El coeficiente de restitucion disminuye al aumentar la velocidad de impacto.

                Colision no frontal: tambien existe un coeficiente de restitucion tangencial $\beta$
                que depende del angulo de impacto $\gamma$ y de si la particula rueda o desliza al separarse.
            

Kuwabara & Kono, Jpn. J. Appl. Phys. 26, 1230 (1987). Brilliantov, Spahn, Hertzsch & Pöschel, Phys. Rev. E 53, 5382 (1996). Pöschel & Schwager, Computational Granular Dynamics (Springer, 2005), §2.

Tres mecanismos de disipacion en colisiones

                        1. Perdidas viscoelasticas (baja velocidad):

                        $1 - \varepsilon \sim v^{1/5}$

                        Regimen ya presentado: disipacion interna del material. El coeficiente de restitucion disminuye lentamente con $v$.

                        2. Perdidas plasticas (alta velocidad):

                        $\varepsilon \sim v^{-1/4}$

                        Deformacion permanente cuando la penetracion supera el umbral plastico:

                        $\delta_{\max} > \delta_{\text{plastic}} \sim R^*\!\left(\dfrac{E^*}{H}\right)^2$

                        donde $H$ es la dureza del material.

                        3. Perdidas radiativas:

                        Energia irradiada como ondas elasticas en el volumen del grano. Importante para granos grandes o impacto sobre superficies extendidas.

Esquema: $\varepsilon$ vs. velocidad de impacto $v$

En geofisica, las colisiones entre bloques rocosos involucran todos los mecanismos simultaneamente.

Andreotti, Forterre, Pouliquen, Granular Media (2013), §2.1.3, p.23-24.

Modelo de corteza blanda (de Gennes)

Las esferas reales tienen una capa superficial alterada (oxidacion, desgaste) de espesor $e$ y modulo $E_e \ll E$.

                        Hertz (homogeneo):

                        $F \approx E\sqrt{R}\, \delta^{3/2}$

                        $\delta \propto F^{2/3}$

                        Corteza blanda ($\delta \ll e$):

                        $F \approx E_e \dfrac{R}{e}\, \delta^{2}$

                        $\delta \propto F^{1/2}$

→ La deformacion aumenta mas lentamente con la fuerza: queda localizada cerca del contacto.

                        Transicion: de $F \propto \delta^2$ (baja carga, corteza) a $F \propto \delta^{3/2}$ (alta carga, bulk).
                    

de Gennes, "Static compression of a granular medium: the ‘soft shell’ model", Europhys. Lett. 35, 145 (1996). de Gennes, "Granular matter: a tentative view", Rev. Mod. Phys. 71, S374 (1999). Andreotti, Forterre, Pouliquen, Granular Media (2013), §2.1.3.

Curvas esfuerzo-deformacion experimentales

Un ensemble granular bajo compresion uniaxial muestra una relacion $\sigma$-$\varepsilon$ no lineal, que refleja la ley de Hertz a nivel de contacto.

                        Regimen elastico:
                        A baja carga: zona de acomodamiento (cierre de contactos)
La rigidez crece con la carga aplicada
$\sigma \propto \varepsilon^{3/2}$ si los contactos son hertzianos

                    

                        Histeresis:

                        La curva de descarga no coincide con la de carga.

                        → Disipacion de energia en cada ciclo.

                        → Origen: reordenamiento de contactos, plasticidad local, friccion.

El area entre las curvas representa la energia disipada $\Delta E$ por ciclo.

Ver: Nesterenko, Dynamics of Heterogeneous Materials (2001), Cap. 1; Johnson, Contact Mechanics (1985).

Extension: adhesion (JKR, 1971)

Hertz ignora la energia de superficie. En contactos reales — particulas pequenas, materiales blandos, superficies limpias — la adhesion es significativa.

Balance de energia de JKR:

$$U_{\text{total}} = U_{\text{elastico}} - U_{\text{superficie}} + U_{\text{mecanico}}$$

Termino de superficie:

$$U_{\text{sup}} = -2\pi\gamma\,a^2$$

$\gamma$ = energia de superficie (J/m²). Factor 2 porque dos superficies contribuyen. El area de contacto $\pi a^2$ libera energia $2\gamma$ por unidad de area.

Procedimiento:

Se minimiza $U_{\text{total}}$ respecto del radio de contacto $a$:

$$\frac{\partial U_{\text{total}}}{\partial a} = 0$$

                Insight clave: incluso con \(F=0\), existe un radio de contacto finito — la adhesion mantiene las superficies unidas.
            

Johnson, Kendall & Roberts, Proc. R. Soc. Lond. A 324, 301 (1971)

Resultado JKR

Relacion fuerza–radio de contacto:

$$F = \frac{4\,E^*\,a^3}{3\,R^*} - \sqrt{8\pi\gamma\,E^*\,a^3}$$

Primer termino = Hertz | Segundo termino = correccion por adhesion

Radio de contacto:

$$a^3 = \frac{R^*}{E^*}\!\left[F + 3\pi\gamma R^* + \sqrt{6\pi\gamma R^*F + (3\pi\gamma R^*)^2}\right]$$

Radio a fuerza nula:

$$a_0^3 = \frac{6\pi\gamma\,R^{*2}}{E^*}$$

Fuerza de pull-off:

$$F_{\text{pull-off}} = -\frac{3}{2}\,\pi\gamma\,R^*$$

Independiente de $E^*$!
Solo depende de la energia de superficie $\gamma$ y la geometria $R^*$.

Johnson, Kendall & Roberts (1971); Maugis, J. Colloid Interface Sci. 150, 243 (1992)

Hertz vs JKR

	Hertz	JKR
Adhesion	No	Si ($\gamma > 0$)
$F$ minima	0	$-\frac{3}{2}\pi\gamma R^*$
$a$ cuando $F\!=\!0$	0	$a_0 > 0$
Separacion	$F \to 0$	Instabilidad subita

Cuando importa JKR?

Parametro de Tabor:

$$\mu_T = \left(\frac{R^*\,\gamma^2}{E^{*2}\,z_0^3}\right)^{1/3}$$

$\mu_T \gg 1$: regimen JKR
$\mu_T \ll 1$: regimen DMT (fuerzas de largo alcance)
$z_0 \sim 0.2$ nm = alcance intermolecular

Tabor, J. Colloid Interface Sci. 58, 2 (1977); Maugis (1992)

Resumen

Ley de Hertz: $F = \frac{4}{3}E^*\sqrt{R^*}\,\delta^{3/2}$

Penetracion: $\delta_{\max} \propto v^{4/5}$

Duracion: $\tau \propto v^{-1/5}$

Restitucion: $\varepsilon(v) \approx 1 - c_1 v^{1/5} + \ldots$

JKR: $F_{\text{pull-off}} = -\frac{3}{2}\pi\gamma R^*$

                        Ideas clave:
                        No-linealidad: exponente 3/2
Rigidez creciente con carga
Boussinesq: fundamento de la derivacion exacta
Tres metodos de derivacion (dim., energetico, exacto)
Corteza blanda: exponente 2 a baja carga
Histeresis en ciclos carga-descarga
JKR: adhesion modifica el contacto a baja carga

                    

Proxima clase

Clase 5: Histeresis y modelado con contactos elasticos

Histeresis en ciclos carga-descarga
Introduccion al DEM
Modelos de contacto normal y tangencial

Bibliografia: Nesterenko, Dynamics of Heterogeneous Materials -- Cap. 1; Johnson, Contact Mechanics (1985)

Test	Resultado
Dimensiones	\([u_z] = \frac{1}{Pa}\cdot\frac{N}{m} = \frac{m}{1} \;\checkmark\)
Equilibrio	\(\displaystyle\int \sigma_{zz}\,dA = F\) en todo plano \(z = \text{cte} \;\checkmark\)
Incompresible \((\nu = 0.5)\)	\(u_z = \frac{3F}{4\pi E r}\) — rigidez aumenta (factor \(\frac{3}{4}\))
Compresible \((\nu = 0)\)	\(u_z = \frac{F}{\pi E r}\) — maxima compliance

MECANICA DE CONTACTO:
LEY DE HERTZ

Plan de la clase

Relacion fuerza-deformacion

Paso 1: Geometria del contacto

Ley de fuerza de Hertz

Ley de Hertz: propiedades

Derivacion de p(r): construccion incremental

Parametros generales

¿De donde viene R*?

¿De donde viene E*?

Perfil de interpenetracion \(\delta'(r)\)

Distribucion de presion \(p(r)\)

Fuerza total: integracion de \(p(r)\) sobre el disco

Paso 2a: Fuerza = Presion × Area

Paso 2b: Metodo energetico

Derivacion exacta (I): solucion de Boussinesq

Ecuaciones fundamentales

Analogia: elasticidad ↔ electrostatica

De la analogia a la solucion de Boussinesq

Demo Boussinesq: planteamiento

Demo Boussinesq: solucion de Kelvin → semi-espacio

Demo Boussinesq: verificacion y limites

Derivacion exacta (II): distribucion de presion

Demo formal: sustitucion en la integral de Boussinesq

Demo formal: igualacion de coeficientes

Cadena de Nesterenko

Solitón de Nesterenko

Colision frontal: penetracion y duracion

Coeficiente de restitucion

Tres mecanismos de disipacion en colisiones

Modelo de corteza blanda (de Gennes)

Curvas esfuerzo-deformacion experimentales

Extension: adhesion (JKR, 1971)

Resultado JKR

Hertz vs JKR

Resumen

Proxima clase

	Hertz	JKR
Adhesion	No	Si (\(\gamma > 0\))
\(F\) minima	0	\(-\frac{3}{2}\pi\gamma R^*\)
\(a\) cuando \(F\!=\!0\)	0	\(a_0 > 0\)
Separacion	\(F \to 0\)	Instabilidad subita

MECANICA DE CONTACTO:LEY DE HERTZ

Plan de la clase

Relacion fuerza-deformacion

Paso 1: Geometria del contacto

Ley de fuerza de Hertz

Ley de Hertz: propiedades

Derivacion de p(r): construccion incremental

Parametros generales

¿De donde viene R*?

¿De donde viene E*?

Perfil de interpenetracion \(\delta'(r)\)

Distribucion de presion \(p(r)\)

Fuerza total: integracion de \(p(r)\) sobre el disco

Paso 2a: Fuerza = Presion × Area

Paso 2b: Metodo energetico

Derivacion exacta (I): solucion de Boussinesq

Ecuaciones fundamentales

Analogia: elasticidad ↔ electrostatica

De la analogia a la solucion de Boussinesq

Demo Boussinesq: planteamiento

Demo Boussinesq: solucion de Kelvin → semi-espacio

Demo Boussinesq: verificacion y limites

Derivacion exacta (II): distribucion de presion

Demo formal: sustitucion en la integral de Boussinesq

Demo formal: igualacion de coeficientes

Cadena de Nesterenko

Solitón de Nesterenko

Colision frontal: penetracion y duracion

Coeficiente de restitucion

Tres mecanismos de disipacion en colisiones

Modelo de corteza blanda (de Gennes)

Curvas esfuerzo-deformacion experimentales

Extension: adhesion (JKR, 1971)

Resultado JKR

Hertz vs JKR

Resumen

Proxima clase

MECANICA DE CONTACTO:
LEY DE HERTZ