CADENAS DE FUERZAS
Y REDES DE CONTACTO

Cilindro de papel carbónico: la fuerza sobre cada grano se mide por la impresión dejada.

En un medio granular, las fuerzas de contacto no se distribuyen uniformemente.

• Muchos contactos con fuerzas menores que el promedio
• Cola exponencial para fuerzas grandes: $P(f) \propto e^{-\beta f/\langle f\rangle}$
• Estudios recientes sugieren $P(f) \propto \exp[-\beta(f/\langle f\rangle)^2]$ para $f \gt \langle f\rangle$

Dispositivo experimental:

• Contenedor cilíndrico (90 mm diámetro, 75 mm alto)
• Esferas de vidrio Pyrex ($r = 3{,}5$ mm) en fluido de índice adaptado (glicerol + agua)
• Papel carbónico en la base del contenedor
• Fuerza aplicada: $F = 310$ N sobre la superficie superior
• El área de la marca $\propto$ fuerza ejercida por cada grano

Ajuste: $\beta = 0{,}64\;\text{N}^{-1}$ (total), $\beta = 1{,}02\;\text{N}^{-1}$ (centro)

Modelo escalar en red: cada grano en la capa $D$ distribuye su peso a $N$ granos de la capa inferior con fracciones aleatorias $q_{ji}$.

Vínculo: $\displaystyle\sum_{j=1}^{N} q_{ij} = 1$   |   Distribución: $\rho(\{q\}) = \prod_j f(q_{ij})\;\delta(\sum q_{ij} - 1)$

Aproximación de campo medio:

• Campo medio: ignorar las correlaciones entre vecinos
• Para $f(q) = \text{cte}$, el campo medio es exacto para todo $N$

Andreotti et al., Granular Media (2013), §3.2.2, p.73–76

Objetivo: explorar analítica y numéricamente el modelo q para comprender el origen de la distribución exponencial de fuerzas en medios granulares.

Ver: Practico_Modelo_q_Liu.pdf en Actividades

Basado en Liu et al., Science 269, 513 (1995)

Para la distribución uniforme $f(q) = \text{cte}$, con fuerza normalizada $\tilde{f} = f/\langle f \rangle$, la solución exacta del campo medio cuando $D \to \infty$ es:

Esta es una distribución Gamma de parámetros $(N, N)$.

Verificación: $\int_0^\infty P(\tilde{f})\,d\tilde{f} = 1$ y $\int_0^\infty \tilde{f}\,P(\tilde{f})\,d\tilde{f} = 1$ (normalización).

Pasos de la derivación:

1. Escribir $f(D+1,j) = 1 + \sum_i q_{ji}\,f(D,i)$
2. En campo medio, cada $q_{ji}\,f(D,i)$ es una variable aleatoria independiente
3. $P(\tilde{f})$ satisface una ecuación de convolución iterada
4. Para $f(q)=\text{cte}$, la transformada de Laplace se factoriza: $\hat{P}(s) \propto \left(\frac{N}{s+N}\right)^N$
5. La anti-transformada da la distribución Gamma

Experimento de Dantu (1967): cilindros de vidrio entre polarizadores cruzados, comprimidos por un pistón.

• La fuerza no se distribuye uniformemente
• Se concentra en cadenas de fuerza
• Nuevos contactos crean nuevos caminos
• La rigidez aumenta con la carga
• Comportamiento muy no-lineal

Richters Finger, Force Chains in Granular Matter

Forma universal de $P(f/\langle f\rangle)$:

Dos regímenes separados por $f = \langle f \rangle$:

• $f < \langle f\rangle$: power-law $P \sim (f/\langle f\rangle)^\alpha$
• $f > \langle f\rangle$: cola exponencial $P \sim e^{-\beta f/\langle f\rangle}$

Datos cuantitativos (experimentos + simulaciones):

Mueth, Jaeger & Nagel, Phys. Rev. E 57, 3164 (1998); Majmudar & Behringer, Nature 435, 1079 (2005)

La estructura de contactos puede representarse como un grafo:

• Nodos: centros de los granos
• Lados: fuerzas de contacto (magnitud o componentes)
• Extensión a simplices 2D (triángulos)
• Filtrado por umbral de fuerza

Herramientas de topología algebraica:

• Componentes conectados (clusters)
• Lazos (loops = agujeros)
• Números de Betti $\beta_0, \beta_1$
• Análisis de persistencia

Kramár et al., Physica D (2014)

(a) Red coloreada por fuerza, (b) simplices, (c-d) filtrado,
(e-h) componentes conectados a diferentes umbrales.

Jerarquía de simplices:

Un complejo simplicial $\mathcal{K}$ se construye a partir del grafo de contactos filtrado por un umbral de fuerza $\theta$: solo se incluyen contactos con $f \geq \theta$.

Kramár et al., Physica D (2014): (b) complejos simpliciales construidos a partir del grafo de contactos.

Conexión: los números de Betti $\beta_0$, $\beta_1$ dependen del umbral de fuerza $\theta$. Al variar $\theta$, las componentes conexas y los lazos nacen y mueren:

• $\theta$ alto → solo contactos fuertes → pocos clusters aislados ($\beta_0$ alto)
• $\theta$ baja → más contactos incluidos → clusters se fusionan ($\beta_0$ baja), aparecen lazos ($\beta_1$ sube)

Kramár et al., Physica D (2014)

Consideremos $N$ partículas de masa $m_i$, con centros en $\boldsymbol{r}_i$ y velocidades $\boldsymbol{v}_i$. La fuerza de contacto que la partícula $j$ ejerce sobre $i$ es $\boldsymbol{f}_{ij}$, con componentes $f_{ij\alpha}$ ($\alpha = x, y, z$). El branch vector $\boldsymbol{b}_{ij} = \boldsymbol{r}_j - \boldsymbol{r}_i$ (componentes $b_{ij\beta}$) conecta los centros de las dos partículas en contacto.

Promediando sobre un volumen $V$ que contiene muchos granos, se obtiene la fórmula de Love-Weber (también llamada Born-Huang):

Claudin, Cap. 14, en Mehta, Granular Physics, Cambridge U. Press (2007)

Escalas de descripción:

Claudin (2007); Andreotti et al., Granular Media (2013), Sec. 3.3

Problema: las fuerzas de contacto son discretas, pero $\sigma_{ij}$ es un campo continuo. Se necesita un procedimiento de promediación.

Se elige una función de suavizado $\mathcal{G}(\boldsymbol{x})$ (también denotada $\phi$) con:

• $\displaystyle\int \mathcal{G}(\boldsymbol{x})\,d^d x = 1$  (normalizada)
• Máximo en $\boldsymbol{x} = 0$, decae para $\|\boldsymbol{x}\| \gg w$
• $w \sim 5$–$10\,d$  (ancho típico, $d$ = diámetro de grano)

Campo continuo genérico:

Cuando $\mathcal{G}$ es una función escalón ($= 1/V$ dentro de $V$, cero fuera), se recupera la fórmula de Love-Weber.

Función $\mathcal{G}(R)$: gaussiana de ancho $w$

• $\boldsymbol{T}^{(\boldsymbol{n})} = \displaystyle\lim_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta\boldsymbol{F}}{\Delta s} = \frac{d\boldsymbol{F}}{ds}$ es el vector de tensión (principio de Cauchy).
• Componentes:   $\sigma = \dfrac{F^n}{A}$ (normal)   $\tau = \dfrac{F^t}{A}$ (tangencial)
• $-\boldsymbol{T}^{(\boldsymbol{n})} = \boldsymbol{T}^{(-\boldsymbol{n})}$ (lema de Cauchy, 3ra ley de Newton).
• Para cada punto existe un tensor $[\sigma]$ tal que:
  $\boldsymbol{T}^{(\boldsymbol{n})} = [\sigma]\boldsymbol{n} \to T_j^{(\boldsymbol{n})} = \sigma_{ij}n_i$

Equilibrio: $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ (tensor simétrico)

Postulado de Cauchy (1823):

En cada punto de un cuerpo continuo y para cada elemento de superficie $ds$ de normal $\boldsymbol{n}$, existe un vector de tracción:

Componentes:

• Componente normal: $\sigma = \boldsymbol{T}^{(\boldsymbol{n})}\cdot\boldsymbol{n} = F^n/A$
• Componente tangencial: $\tau = |\boldsymbol{T}^{(\boldsymbol{n})} - \sigma\,\boldsymbol{n}| = F^t/A$

Elemento de superficie $ds$ con normal $\boldsymbol{n}$ y vector de tracción $\boldsymbol{T}^{(\boldsymbol{n})}$

Enunciado: los vectores de tracción sobre caras opuestas de una superficie son iguales y opuestos.

Demostración: considerar una "rodaja" de espesor $h \to 0$ y área $A$, cortada por un plano de normal $\boldsymbol{n}$.

1. 2da ley de Newton sobre la rodaja:

2. Las fuerzas de superficie son $\propto A$, las de volumen y la inercia son $\propto A\,h$.

3. Cuando $h \to 0$, los términos en $A\,h$ desaparecen:

4. Por lo tanto:

Tetraedro de Cauchy con cara oblicua de normal $\boldsymbol{n}$

2da ley de Newton sobre el tetraedro (4 caras):

Relación geométrica entre las áreas:

Paso al límite: cuando el tetraedro se contrae ($dm \to 0$, las fuerzas de volumen son $\propto dV$ mientras que las de superficie son $\propto dA$), el término inercial desaparece:

Descomposición de cada $\boldsymbol{T}^{(\boldsymbol{e}_i)}$ en componentes:

Sustituyendo en $\boldsymbol{T}^{(\boldsymbol{n})} = \sum_i \boldsymbol{T}^{(\boldsymbol{e}_i)}n_i$:

Tensiones normal y tangencial sobre el plano de normal $\boldsymbol{n}$:

• $\sigma_n = \boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{n} = \sigma_{ij}\,n_i\,n_j$
• $\tau_n = |\boldsymbol{T} - \sigma_n\boldsymbol{n}| = \sqrt{|\boldsymbol{T}|^2 - \sigma_n^2}$

Componentes $\sigma_{ij}$: el primer índice indica la cara, el segundo la dirección de la fuerza.

Equilibrio de traslación (volumen arbitrario $V$ con superficie $S$):

Usando $T_j = \sigma_{ij}n_i$ y el teorema de Gauss:

Equilibrio de rotación (momentos respecto a un punto):

Al desarrollar el producto vectorial y usar la ecuación de traslación para simplificar, queda:

$\sigma_{ij} - \sigma_{ji} = 0$ para todo $i, j$, es decir:

1. Balance de momento angular sobre un volumen $V$:

2. En componentes, usando el símbolo de Levi-Civita $\epsilon_{ijk}$ (ver abajo) que codifica el producto vectorial: $(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_i = \epsilon_{ijk}\,a_j\,b_k$. Convención de Einstein: índices repetidos implican sumación.

3. Teorema de Gauss en el primer término:

4. Desarrollando la derivada:

5. El segundo término se cancela con $\int x_j F_k\,dV$. Queda:

6. Como vale para todo volumen $V$, para cada componente $i$:

Problema de autovalores:

En la base principal, el tensor es diagonal:

Significado físico: sobre las superficies perpendiculares a las direcciones principales, no hay esfuerzo de corte — solo esfuerzo normal.

Un cambio de base (rotación) se escribe:

con $R$ ortogonal: $R\,R^T = I$, $\det(R) = 1$. En 2D, rotación de ángulo $\theta$:

$I_1 = \text{Tr}([\sigma])$ es invariante:

(propiedad cíclica de la traza: $\text{Tr}(ABC) = \text{Tr}(CAB)$)

$I_3 = \det([\sigma])$ es invariante:

$I_2$ es invariante:

Se puede escribir $I_2$ en función de $I_1$ y $\text{Tr}([\sigma]^2)$:

Como $\text{Tr}([\sigma]^2) = \text{Tr}(R[\sigma]R^T R[\sigma]R^T) = \text{Tr}([\sigma]^2)$ por la misma propiedad cíclica, $I_2$ es invariante.

Todo tensor de esfuerzos se descompone en:

Parte isótropa — presión media:

Parte desviadora (sin traza: $\tau_{kk} = 0$):

En la base principal:

$\tau_i = \sigma_i + P$   para $i = 1, 2, 3$

Andreotti et al., Granular Media (2013), Box p.79–82, Eq. 3.11

Problema: conocemos el tensor de esfuerzos \(\sigma_{ij}\) en un punto. ¿Cuáles son la tensión normal \(\sigma_n\) y tangencial \(\sigma_t\) sobre un plano de orientación arbitraria \(\theta\)?

La fuerza por unidad de área sobre una superficie de normal \(\mathbf{n}\) es:

Proyectando sobre la normal y la tangente:

1. En ejes principales $(\sigma_1, \sigma_2)$, la normal al plano es $\mathbf{n} = (\sin\theta,\, -\cos\theta)$:

$f_x = \sigma_1\sin\theta$,    $f_z = -\sigma_2\cos\theta$

2. Proyección sobre $\mathbf{n}$ y $\mathbf{t}$:

$\sigma_n = \sigma_1\sin^2\!\theta + \sigma_2\cos^2\!\theta$

$\sigma_t = (\sigma_1 - \sigma_2)\sin\theta\cos\theta$

3. Fórmulas de ángulo doble: $\sin^2\!\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$,   $\cos^2\!\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$,   $\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$

4. Definimos: $\sigma_0 = \dfrac{\sigma_1+\sigma_2}{2}$,   $r = \dfrac{\sigma_2-\sigma_1}{2}$

Andreotti et al., Granular Media (2013), §4.3

Lectura del diagrama:

• Eje horizontal: $\sigma_n$ (tensión normal)
• Eje vertical: $\sigma_t$ (tensión tangencial)
• Los esfuerzos principales $\sigma_1, \sigma_2$ están sobre el eje $\sigma_n$
• Un punto $M$ sobre el círculo da $(\sigma_n(\theta), \sigma_t(\theta))$ para la normal a ángulo $\theta$

Ejemplo: $\mathbf{n} = (1,0)$ → $\sigma_n = \sigma_{xx}$, $\sigma_t = \sigma_{xy}$

Resultado clave:

El esfuerzo tangencial máximo ocurre a 45° de las direcciones principales.

Criterio de Coulomb: el material cede cuando existe un plano donde

$c$ = cohesión, $\varphi$ = ángulo de fricción interna, $\mu = \tan\varphi$ = coef. de fricción.
Para granos secos: $c = 0$ → falla cuando $\sigma_t/\sigma_n > \mu$.

Interpretación gráfica:

• Estable: el círculo queda debajo de la envolvente
• Falla: el círculo es tangente a la envolvente

En la tangencia:   $\sin\varphi = \dfrac{r}{\sigma_0}$

Plano de falla:   $\theta' = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\varphi}{2}$

Andreotti et al., Granular Media (2013), §4.3, Fig. 4.16; Coulomb (1776); Nedderman (1992)

En ambos limites, la falla de Mohr-Coulomb se alcanza: \(\sigma_1/\sigma_2 = (1+\sin\varphi)/(1-\sin\varphi)\).

Activo — el muro se aleja, \(\sigma_2\) baja:

Pasivo — el muro empuja, \(\sigma_1\) sube:

En reposo (Jaky):   \(\sigma_2/\sigma_1 \approx 1 - \sin\varphi\)

Aplicaciones: muros de contencion, estabilidad de taludes, silos, tuneles.

Andreotti et al., Granular Media (2013), §4.3.2, p.137-142; Rankine (1857)

El angulo de dilatancia \(\psi\) es el angulo entre el vector velocidad y el plano de cizallamiento durante la deformacion plastica.

Ecuacion fundamental (modelo de 3 esferas):

• En el pico de esfuerzo: \(\psi\) maximal \(\Rightarrow \varphi_\text{pico} > \varphi_\text{critico}\)
• En el estado critico (grandes deformaciones): \(\psi = 0\) \(\Rightarrow \varphi_\text{macro} = \varphi_\text{micro}\)

Distincion importante entre ensayos:

Diferentes aparatos de ensayo dan diferentes valores de \(\varphi\).

Andreotti et al., Granular Media (2013), §4.2, p.131–134

Campo de desplazamientos: sea \(\mathbf{r}\) la posición de un punto antes de la deformación y \(\mathbf{r}'\) después. El desplazamiento es:

Tensor de deformación (pequeñas deformaciones):

Significado físico de las componentes:

• Diagonal \(\varepsilon_{ii}\): extensiones / compresiones
• Fuera de diagonal \(\varepsilon_{ik}\) (\(i \neq k\)): cizallamiento
• Traza: cambio de volumen relativo: \(\text{tr}(\varepsilon) = \Delta V / V\)

Andreotti et al., Granular Media (2013), Box p.79–80

1. Vector desplazamiento. Sea \(\mathbf{r}\) la posición de un punto antes de la deformación y \(\mathbf{r}'\) después:

2. Cambio de distancia entre dos puntos cercanos.

Antes: dos puntos separados por \(\mathrm{d}x_i\), distancia \(\mathrm{d}l\).

Después: separación \(\mathrm{d}x'_i = \mathrm{d}x_i + \mathrm{d}u_i\), distancia \(\mathrm{d}l'\).

3. Álgebra. Como \(\mathrm{d}l'^{\,2} = (\mathrm{d}x_i + \mathrm{d}u_i)^2\) y \(\mathrm{d}u_i = \dfrac{\partial u_i}{\partial x_k}\,\mathrm{d}x_k\), (somación sobre k):

Sumando sobre \(i\), \(k\) y \(l\). Es decir:

4. Simetrizar. Simetrizando en \(i,k\), definimos:

En pequeñas deformaciones, el término cuadrático es despreciable:

5. Sacando raíz y desarrollando en Taylor \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\):

Definiendo el versor \(n_i = \mathrm{d}x_i / \mathrm{d}l\), la elongación relativa en la dirección \(\hat{\mathbf{n}}\) es:

ver las versiones en coordenadas cilindricas y polares en Landau & Lifshitz, Theory of Elasticity, 3^a ed. (1986), §1

Descomposición del gradiente de desplazamiento:

El gradiente \(\partial u_i / \partial x_k\) se descompone en parte simétrica y antisimétrica:

Landau & Lifshitz, Theory of Elasticity, §1; Andreotti et al. (2013), §3.1

Problema: la ecuación de equilibrio $\sigma_{ji,j} + F_i = 0$ tiene 6 incógnitas ($\sigma_{ij}$ simétrico) pero solo 3 ecuaciones. Se necesita una ley constitutiva que relacione $\sigma$ con $\varepsilon$.

Ley de Hooke generalizada (elástico lineal):

$C_{ijkl}$: tensor de rigidez elástica de 4° orden (81 componentes en 3D).

Las simetrías reducen las constantes independientes:

• $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ → $C_{ijkl} = C_{jikl}$  (81 → 54)
• $\varepsilon_{kl} = \varepsilon_{lk}$ → $C_{ijkl} = C_{ijlk}$  (54 → 36)
• Energía elástica: $C_{ijkl} = C_{klij}$  (36 → 21)

Notación de Voigt: se mapean pares $(ij)$ a un índice:

$11 \to 1$, $22 \to 2$, $33 \to 3$, $23 \to 4$, $13 \to 5$, $12 \to 6$

El tensor $C_{ijkl}$ se escribe como una matriz 6×6 simétrica:

Simetrías y constantes independientes:

Andreotti et al., Granular Media (2013), Sec. 3.5.3