CLASE 2 - GEOFÍSICA DE MEDIOS GRANULARES

DESCRIPCIÓN ESTRUCTURAL:
COMPACIDAD, COORDINACIÓN,
DESCARGA Y JAMMING

THOMAS GALLOT,
CAMILA SEDOFEITO

Instituto de Física,
Facultad de Ciencias,
Universidad de la República

Ángulo de reposo

Métodos de medición del ángulo de reposo

Materiales secos: $17° \leq \alpha \leq 42°$

Materiales cohesivos: $45° \leq \alpha \leq 90°$

Depende de: forma de los granos, rugosidad superficial, humedad, distribución de tamaños.

Métodos de medición:

Vertido (piling): se vierte material desde una altura fija y se mide el ángulo del cono formado.
Drenaje (draining): se deja salir el material por la base de un cilindro; el ángulo del cráter resultante es $\alpha$.
Inclinación (tilting): se inclina gradualmente un recipiente hasta que los granos comienzan a deslizar.
Tambor rotatorio: se rota un cilindro parcialmente lleno a baja velocidad y se mide el ángulo de la superficie libre.

Avalanchas y flujo de deslizamientos

Una pila granular tiene un ángulo máximo de estabilidad $\theta_{\max}$. Cuando se supera, se produce una avalancha hasta que el ángulo se reduce a $\theta_{\min}$.

Dos ángulos críticos:

$\theta_{\text{start}}$ (= $\theta_{\max}$): ángulo de inicio de la avalancha
$\theta_{\text{stop}}$ (= $\theta_{\min}$): ángulo de reposo final

$\Delta\theta = \theta_{\text{start}} - \theta_{\text{stop}} \approx 3°\text{-}5°$ para arena típica.

Regímenes en un tambor rotatorio (velocidad $\omega$):

$\omega$ baja: avalanchas intermitentes (cuasi-periódicas)
$\omega$ alta: flujo continuo sobre la superficie libre
La transición presenta histéresis

Histéresis: $\theta_{\text{start}} > \theta_{\text{stop}}$.
Valores típicos para arena: ~35° y ~30°.

Analogía: avalanchas granulares y deslizamientos de tierra

Laboratorio:

Tambor rotatorio con arena
Avalanchas intermitentes controladas
$\theta_{\text{start}} - \theta_{\text{stop}} \approx 3°\text{-}5°$
Escala: centímetros, segundos

Geofísica:

Deslizamientos de ladera
Flujos de escombros (debris flows)
Caídas de acantilados
Escala: metros a kilómetros, riesgo natural

La física es la misma: competencia entre gravedad y fricción interna.

El criterio de Mohr-Coulomb gobierna ambos casos:

$\tau = c + \sigma_n \tan\phi$

Factores que desestabilizan una ladera:

Agua: presión de poro reduce la fricción efectiva
Sismos: aceleración puede superar el umbral de estabilidad
Erosión: cambio de la geometría de la pendiente
Sobrecarga: deposición de material nuevo

El agua es crítica:

Un poco de agua estabiliza (puentes capilares, castillos de arena).

Mucha agua desestabiliza (presión de poro, licuefacción).

Densidad aparente y fracción de empaquetamiento

Compacidad, fracción de volumen ocupado, packing fraction, volume fraction: $\phi$, $c$, $\eta$

$\phi = \dfrac{\text{volumen real de las partículas}}{\text{volumen aparente de la muestra}}$

No confundir con la densidad numérica:

$\rho = \dfrac{N}{V}$

Si todas las partículas son iguales ($v_g$: volumen de una partícula):

$\phi = \dfrac{N v_g}{V} = \rho \, v_g$

Porosidad: $\epsilon = 1 - \phi$

Empaquetamientos regulares en 2D

Empaquetamiento cuadrado

$\phi_{\text{cuadrado}} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0.785$

Celda unitaria: cuadrado de lado $2R$, contiene 1 disco.

Empaquetamiento hexagonal

$\phi_{\text{hex}} = \dfrac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0.9069$

Es el empaquetamiento más denso posible en 2D (Thue, 1892).

Empaquetamientos cuadrado y hexagonal con celdas unitarias

Izquierda: cuadrado ($z=4$) | Derecha: hexagonal ($z=6$)

Límite 2D: $\displaystyle 0 < c < \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \approx 0.91$ (hexagonal)

Empaquetamientos regulares en 3D

Estructura	$\phi$	$z$
Cúbica simple (SC)	$\dfrac{\pi}{6} \approx 0.524$	6
BCC	$\dfrac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0.680$	8
FCC / HCP	$\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.740$	12

Conjetura de Kepler (1611): El empaquetamiento más denso de esferas idénticas en 3D es $\phi = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.7405$, alcanzado por FCC y HCP.

Demostrado por T. Hales (1998, publicado 2005).

Límite 3D: $\displaystyle 0 < \phi < \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74$

Compacidad — medición

Geometría básica

Fotografía
$\phi = \dfrac{N_{\text{black pixels}}}{N_{\text{pixels}}}$

Geometría probabilística
$\phi = \dfrac{N_{\text{hits}}}{N_{\text{shots}}}$

Métodos de medición de la compacidad

Métodos directos

Pesaje: $\phi = M / (\rho_g V)$ — simple pero requiere conocer $V$ con precisión
Análisis de imagen 2D: binarización y conteo de píxeles (limitado a la superficie)
Tomografía de capacitancia eléctrica: mide la permitividad local, no invasiva

Métodos no invasivos 3D

Absorción de rayos gamma: ley de Beer-Lambert $I = I_0 \, e^{-\mu \rho \ell}$
Tomografía de rayos X (micro-CT): resolución ~$\mu$m, reconstrucción 3D completa
Resonancia magnética nuclear (RMN/MRI): ideal para granos en fluido

Rayos X y gamma son los métodos estándar en geofísica de campo y laboratorio — permiten medir $\phi$ de forma no destructiva en muestras opacas y a diferentes profundidades.

Andreotti, Forterre & Pouliquen, Granular Media (2013), §3.1, Box p.60–61.

Número de coordinación $z$

El número de coordinación $z$ cuenta los vecinos más cercanos (primera capa) de una partícula.

El número de contacto cuenta solamente los vecinos que están en contacto mecánico real.

Si los granos son convexos:

$\langle z \rangle = 2\,\dfrac{\text{número total de contactos}}{\text{número de partículas}}$

Valores máximos (monodisperso):

Esferas (3D): $z_{\max} = 12$ | Discos (2D): $z_{\max} = 6$

Número de contacto — isostacidad

Deposición secuencial

(cualquier forma convexa, partículas rígidas)

2D: $\langle z \rangle = 2\frac{2N}{N} = 4$ (cada grano suma 2 contactos)
3D: $\langle z \rangle = 2\frac{3N}{N} = 6$ (cada grano suma 3 contactos)

Isostático

(contactos puntuales: ligaduras = fuerzas)

2D: $3N$ ligaduras, $2N_c$ fuerzas → $N_c = \frac{3N}{2}$ → $\langle z \rangle = 3$
3D: $6N$ ligaduras, $3N_c$ fuerzas → $N_c = 2N$ → $\langle z \rangle = 4$

Valores experimentales (confocal):
$\phi = 0.4 \to \langle z \rangle = 4$; $\phi = 0.65 \to \langle z \rangle = 8$

Número de contacto — medición

El número de contacto es difícil de medir: es difícil distinguir contactos reales de "casi-contactos".
En simulaciones se requiere guardar posiciones con altísima precisión. Es mejor distinguir por las fuerzas.
Métodos experimentales: pintura, oxidación, trazadores fluorescentes, partículas fotoelásticas, puentes líquidos, conductividad.

Behringer (fotoelásticas)

Kudroli

Efecto Janssen: presión en silos

En un fluido, la presión crece linealmente con la profundidad (ley de Pascal):

$P_{\text{fluido}}(z) = \rho g z$

En un silo granular, la fuerza en la base satura:

$F < Mg$ : la balanza mide menos que el peso total.
La fricción con las paredes redirige parte del peso hacia los costados del silo.
La forma de llenado cambia la saturación.
La columna tiene que estar en fricción movilizada para que se observe la saturación.

Janssen, H. A. (1895). Versuche über Getreidedruck in Silozellen. Z. Ver. Dtsch. Ing. 39, 1045.

Modelo de Janssen

Balance de fuerzas sobre una rebanada de espesor $dz$ en un silo cilíndrico de radio $R$:

$\pi R^2 \sigma_{zz}(z+dz) - \pi R^2 \sigma_{zz}(z) - \rho g\pi R^2 dz + \sigma_{rz}(R)\,2\pi R\,dz = 0$

Hipótesis:

Fricción completamente movilizada: $\sigma_{rz}(R) = \mu_s \sigma_n(R)$
Relación constitutiva: $\sigma_n = K\,\sigma_{zz}$ (redirección de fuerzas)

Ecuación diferencial resultante:

$\dfrac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z} = \rho g - \dfrac{2\mu_s K}{R}\,\sigma_{zz}(z)$

con $\sigma_{zz}(z=0)=0$. La solución es:

$\sigma_{zz}(z) = \dfrac{\rho g R}{2\mu_s K}\left[1 - \exp\!\left(\dfrac{-2\mu_s K\,z}{R}\right)\right]$

Diagrama de balance de fuerzas de Janssen

Janssen: parámetros clave

Reescribiendo la solución de Janssen:

$P(z) = P_{\text{sat}}\!\left(1 - e^{-z/\lambda}\right)$

Presión de saturación:

$P_{\text{sat}} = \dfrac{\rho g R}{2\mu_s K} = \dfrac{\rho g D}{4\mu_s K}$

Longitud característica:

$\lambda = \dfrac{R}{2\mu_s K} = \dfrac{D}{4\mu_s K}$

Para $z \gg \lambda$, la presión se vuelve independiente de la altura.

Experimentalmente, la masa aparente de saturación es proporcional a $R^3$, consistente con $\sigma_{zz} \to \frac{\rho g R}{2\mu_s K}$.

Parámetro	Descripción	Valor típico
$K$	Coeficiente de Janssen (redirección)	0.5 - 0.8
$\mu_s$	Coeficiente de fricción grano-pared	0.3 - 0.6
$\lambda$	Longitud característica	5 - 15 cm
$D$	Diámetro del silo	4 - 6 cm (lab)

Diferencia fundamental:

Fluido: $P = \rho g h$ (crece linealmente)

Granular: $P \to P_{\text{sat}}$ (satura exponencialmente)

Descarga granular: ley de Beverloo

El caudal másico $W$ en silos es constante e independiente de la altura de llenado (a diferencia de la ley de Torricelli para fluidos).

Esto es consecuencia directa del efecto Janssen: la presión en el fondo satura.

Concepto de "free fall arch":

La velocidad de salida se fija por la caída libre sobre el diámetro de apertura:

$v = \sqrt{g\,D_0}$

Beverloo, Leniger y Van de Velde (1961) midieron $W^{2/5}$ vs. $D_0$ y obtuvieron una recta:

$W = C\,\rho_b\,\sqrt{g}\,(D_0 - k\,d)^{5/2}$

$C \approx 0.58$, $k \approx 1.4$, $D_0$ = apertura, $d$ = diámetro de grano

Beverloo, Leniger & Van de Velde, Chem. Eng. Sci. 15, 1961. Hagen G.H.L., Poggendorffs Ann. Phys. Chem. 46, 423 (1839).

Ley de Beverloo: detalles

$W = C\,\rho_b\,\sqrt{g}\,(D_0 - k\,d)^{5/2}$

El término $kd$ se asocia a efectos de borde: zona anular cerca del orificio donde la densidad de partículas es menor (efecto de "anillo vacío").

Condiciones de validez:

$W$ no depende de $H$ si $H > 2D_0$
$W$ no depende de $D$ (diámetro del silo) si $D > 2{,}5\,D_0$
Válida para $400\,\mu\text{m} < d < D_0/6$

Caso 2D (ranura): el exponente cambia de 5/2 a 3/2

$W \propto \sqrt{g}\,(D_0 - kd)^{3/2}$

Curva de Beverloo - datos experimentales

Brown & Richards, Principles of Powder Mechanics, Pergamon, 1970. Nedderman, Statics and Kinematics of Granular Materials, CUP, 1992.

Jamming: transición de atasco

Cuando la apertura $D_0$ se reduce, el flujo puede detenerse por formación de arcos estables de partículas sobre el orificio.

Relación crítica $D_0/d$:

Para $D_0/d > 5$: flujo continuo (generalmente)
Para $D_0/d \sim 3\text{-}5$: flujo intermitente, atascos esporádicos
Para $D_0/d < 3$: atasco permanente (arcos estables)

La probabilidad de atasco $J(D_0/d)$ se mide repitiendo la descarga muchas veces para cada apertura.

Diagrama de jamming (Liu-Nagel, 1998):

Tres ejes controlan la transición flujo/atasco:

$1/\phi$ (inverso de la densidad)
Esfuerzo de corte $\sigma$
Temperatura (o agitación)

Diagrama de jamming de Liu & Nagel (1998).
El punto J marca la transición de atasco.

Formación de arcos y flujo intermitente

Los arcos son estructuras autoestabilizantes donde cada grano se sostiene mutuamente por fricción y geometría.

Jamming y formación de arcos en un silo

Efecto de la forma y tamaño:

Relación $D_0/d$: cuanto menor es la relación, mayor la probabilidad de atasco.
Forma del orificio: un orificio circular se atasca más fácilmente que una ranura del mismo ancho.
Forma de los granos: partículas no esféricas (alargadas, angulares) forman arcos más fácilmente.
Fricción: mayor fricción entre granos estabiliza los arcos.

Reloj de arena con granos finos ($d < 300\,\mu$m):

$d < 40\,\mu$m: no hay flujo (cohesión)
$40 < d < 300\,\mu$m: flujo intermitente
$d > 300\,\mu$m: flujo continuo

To, Lai & Pak, PRL 86, 71 (2001); Wu X-l. et al, PRL 71, 1363 (1993); Le Pennec T. et al, PRE 53, 2257 (1996).

Teselación de Voronoi

● Puntos rojos: centros de las partículas

Polígonos blancos: celdas de Voronoi

▬ Red negra: red de Delaunay

Construcción: dado un conjunto de puntos, para cada punto $i$ se define su celda como $\{x : |x - x_i| \leq |x - x_j|, \forall j \neq i\}$. Lo implementaremos numéricamente en el próximo experimento.

Celda de Voronoi: región del espacio más cercana a un punto dado que a cualquier otro punto del conjunto.
La red recíproca se llama red de Delaunay: conecta puntos cuyas celdas de Voronoi comparten una arista.
Para esferas y discos, cada grano está contenido en su celda.

Aplicaciones de las celdas de Voronoi:

Densidad local: $\phi_{\text{local}} = v_g / V_{\text{Voronoi}}$
Transición de jamming: identificar regiones localmente densas/sueltas y la heterogeneidad espacial de $\phi$

Parámetro	Descripción	Valor típico
\(K\)	Coeficiente de Janssen (redirección)	0.5 - 0.8
\(\mu_s\)	Coeficiente de fricción grano-pared	0.3 - 0.6
\(\lambda\)	Longitud característica	5 - 15 cm
\(D\)	Diámetro del silo	4 - 6 cm (lab)

DESCRIPCIÓN ESTRUCTURAL:COMPACIDAD, COORDINACIÓN,DESCARGA Y JAMMING